Διάλεξη 5: FM,PM Εισαγωγή στην διαμόρφωση FM

Όπως στην διαμόρφωση πλάτους έχουμε διάφορες υποκατηγορίες, έτσι και στην διαμόρφωση γωνίας.

• FM: (Frequency) Διαμόρφωση συχνότητας
• PM: (Phase) Διαμόρφωση Φάσης

Αν και οι τύποι τους παρουσιάζουν αρκετές διαφορές, τονίστηκε πως αποτελούν τις δύο όψεις του ίδιου νομίσματος, καθώς σε αντίθεση με την διαμόρφωση πλάτους (η οποία μπορεί να θεωρηθεί γραμμική) εδώ έχουμε την πληροφορία να εντάσσεται μέσα στο πεδίο της γωνίας και συχνότητας.

Αυτό προκαλεί:

• [ ] Διαστολή του εύρους ζώνης (δες τελευταία παράγραφο)
• Μεγαλύτερη αντοχή στον θόρυβο.¹

Ο γενικός τύπος της διαμόρφωσης γωνίας είναι ο εξής:

\begin{equation} \label{eq:1} x(t) = A_C\cos{\left(\theta t\right)} \end{equation}

με την πληροφορία να εισάγεται στο \(\theta\):

\begin{equation} \label{eq:2} \theta(t) = 2\pi f_ct + \phi(t) \end{equation}

Εδώ η φάση έχει γραμμική σχέση με το μήνυμα, με συντελεστή \(K_p\), ο οποίος λέγεται και ευαισθησίας φάσης.

\begin{equation} \label{eq:6} \phi(t) = K_pm(t) \end{equation}

οπότε το πλήρως διαμορφωμένο σήμα είναι της μορφής:

\begin{equation} \label{eq:8} x(t) = A_c\cos{\left(2\pi f_ct + K_pm(t)\right)} \end{equation}

Η \(f_i\) έχει γραμμική σχέση με το μήνυμα, με συντελεστή \(K_f\), ονομαζόμενο και ευαισθησία συχνότητας.

Στην διαμόρφωση συχνότητας:

\begin{equation} \label{eq:4} \frac{d{\phi}}{d{t}} = 2\pi K_fm(t) \end{equation}

στην οποία λύνοντας ως προς \(\phi\):

\begin{align} \label{eq:5} \phi(t) &= 2\pi K_f\int_{-\infty}^t m(\tau)d\tau\\ f_i(t) &= f_c + K_f m(t) \end{align}

Η δεύτερη σχέση μας δείχνει ότι περιμένουμε οι όποιες μεταβολές στην συχνότητα περιμένουμε να είναι γύρω από την \(f_{c}\)

Μπορούμε να κάνουμε ανάλυση του εκάστοτε σήματος σε inphase και quadrature συνιστώσα, όπως άλλωστε κάναμε και στο AM. Εδώ όμως, αυτή η ανάλυση είναι πολύ απλή:

\begin{align} \label{eq:17} x(t) = & A_c \cos{\left(2\pi f_ct + \phi(t)\right)} \stackrel{\cos{(a+b)} = \cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}}{\Rightarrow} \\ =& A_c\cos{\phi(t)}\cos{2\pi f_ct} - A_c\sin{\phi(t)}\sin{2\pi f_ct}\\ =& x_i(t)\cos{2\pi f_ct} - x_Q(t)\sin{2\pi f_ct} \end{align}

Οπότε έχουμε ακόμα: περιβάλλουσα και φάση

\begin{align} \label{eq:10} V(t) &= \sqrt{x_I^2 + x_Q^2} = A_{c}\\ \theta(t) &= \arctan{\frac{x_Q}{x_I}} \end{align}

Συνοψίζοντας τα παραπάνω, κατα την διαμόρφωση γωνίας μπορούμε να δούμε.

\begin{equation} \label{eq:7} \phi(t) = \begin{cases} K_pm(t)\\ 2\pi K_f\int_{-\infty}^tm(\tau)d\tau \end{cases} \end{equation}

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy

# mf = message frequency
mf = 5
fc = 5
Ac = 2

Kf = 2
Kp = 2*np.pi*Kf

T = np.linspace(0,2/mf,1000)

fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(3,1)

def m(t):
    return np.cos(2*np.pi*mf*t)

def fm(t):
    res = np.zeros_like(t)
    for i,val in enumerate(t):
        y,err = scipy.integrate.quad(m,-np.inf,val)
        res[i]= Ac*np.cos(2*np.pi*fc*val + 2*3*Kf*y) 
    return res

pm = Ac*np.cos(2*np.pi*fc*T + Kp*m(T)) 

ax1.plot(T,m(T))
ax1.set_title("message")

ax2.plot(T,pm)
ax2.set_title("PM")

ax3.plot(T,fm(T))
ax3.set_title("fm")

fig.show()

Η ισχύς του σήματος μας είναι σταθερή, όπως άλλωστε ήταν αναμενόμενο από τον γενικό τύπο: \(x(t) = A_c\cos{\theta}\):

\begin{equation} \label{eq:12} P_{PM} = P_{FM} = \frac{A_c^2}{2} \end{equation}

Οι διαμορφώσεις PM, FM εμφανίζουν την ιδιότητα της δυικότητας, την οποία στην συγκεκριμένη περίπτωση αποδίδουμε στο γεγονός ότι μπορούμε να μεταδώσουμε την ίδια πληροφορία (διαμορφωμένη με τον ίδιο τρόπο) με διαφορετικό μηχανισμό απο πίσω.

Ισοδύναμα η δυικότητα είναι εμφανής από το εξής: ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ PM/FM ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΤΕΥΞΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ.

• AM: Κλασσικό έχει ήδη αναλυθεί
• FM: Χρήση ταδε αριθμού διαφορετικών συχνοτήτων
• PM: Χρήση τάδε αριθμού διαφορετικών φάσεων - η διαφορά φάσης είναι ανιχνεύσιμη στον δέκτη.
  • Δεν είναι τόσο σημαντικό στο πλαίσιο του μαθήματος αλλά συνδέει TLP1 - TLP2

Στην διαμόρφωση γωνίας έχουμε θεωρητικά άπειρο εύρος ζώνης, όπως προκύπτει από την σειρά Taylor:

\begin{align*} \label{eq:11} A_c\cos{\left(\theta(t)\right)} &= A_c\cos{\left(2\pi f_ct\right)}\cos{\left(\phi(t)\right)} - A_c\sin{\left(2\pi f_c t\right)}\sin{\left(\phi(t)\right)}\\ &\stackrel{\text{Taylor}}{=} A_c\cos{\left(2\pi f_c t\right)}[1 - \phi^2(t)/2! + \cdots ] - A_c\sin{\left(2\pi f_c t\right)} [\cdots] \end{align*}

Από την παραπάνω έκφραση, καταλαβαίνουμε και επαληθευόμαστε κατα τον μετασχηματισμό Fourier του διαμορφωμένου σήματος, πως το διαμορφωμένο σήμα έχει εύρος \(nW\), όπου \(n\) η μεγαλύτερη δύναμη στην οποία υψώνεται η \(\phi\).

Από τις σειρές Taylor όμως ξέρουμε ότι \(n \to \infty\):

\begin{align*} W' = \lim_{n\to\infty} nW = \infty \end{align*}

Στοιχείο που δεν είναι καθόλου πρακτικό για την ανάλυση της διαμόρφωσης γωνίας. Χρειάζεται μια κάποια πιο ρεαλιστική προσέγγιση, η οποία, επιτρεπόμενη λόγω της ραγδαίας μείωσης των όρων εκφράζεται από τον κανόνα του Carson:

Το εύρος ζώνης \(B\), στο οποίο περιλαμβάνεται τουλάχιστον το \(99%\) της συνολικής ισχύος δίνεται από την σχέση:

\begin{equation} \label{eq:14} B\approx 2W(\beta+1) \end{equation}

Όπου \(\beta\) οι συντελεστές διαμόρφωσης για PM και FM αντίστοιχα.