Διάλεξη 5: Γνωστές Κατανομές

Σύνοψη
- Διακριτές
- Συνεχείς
Διακριτές Κατανομές
Συνεχείς

Από βιβλίο Καραγιαννίδη και Χατζηδιαμαντή: σελίδες 255,271

Σύνοψη

Αρχικά είναι σημαντικό κανείς να διακρίνει τις κατανομές βάση της φύσεως των τυχαίων μεταβλητών τους. Να τις χωρίσει, δηλαδή, σε διακριτές και συνεχείς κατανομές.

Διακριτές

Table 1: Μια γενική εικόνα των διακριτών κατανομών
Κατανομή	Περιγραφή	ΣΜΠ
Bernoulli	Πείραμα με 2 αποτελέσματα: 0,1	$f_{x} (x) = {\begin{cases} p & x = 1 \\ q = 1 - p & x = 0 \end{cases}$
Διωνυμική	Επιτυχίες σε n Bernoulli	$f_{x} (x) = (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x}$
Πολυωνυμική	Πείραμα με k αποτελέσματα (Γενίκευση πολυωνυμικής)	$f (x_{1}, x_{2}, \dots) = (\binom{n}{x_{1}, x_{2}, \dots}) p_{1}^{x_{1}}, p_{2}^{x_{2}}, \dots$
Γεωμετρική	Πλήθος δοκιμών πριν την πρώτη επιτυχία	$f_{X} (x) = p (1 - p)^{x - 1}$
Πασκάλ	Πλήθος δοκιμών πριν την κοστή επιτυχία¹	$f_{X_{k}} (x) = (\binom{x - 1}{k - 1}) p^{k} (1 - p)^{x - k}$
Υπεργεωμετρική	Πλήθος επιτυχιών σε τυχαία δειγματοληψία	$f_{X_{K}} (x) = \frac{(\binom{N - k}{n - x}) (\binom{k}{x})}{(\binom{N}{n})}$
Poisson	Πλήθος αποτελεσμάτων εντός δεδομένου χρόνου	$f_{X} (x) = \frac{λ^{x}}{x!} e^{- λ}$
Ομοιόμορφη	(-_-)	$f_{X} (x) = {\begin{cases} \frac{1}{b - a}, & x \in [a, b] \\ 0 & elsewhere \end{cases}$

Table 2: Πίνακας αναφοράς για ΔΚ
Κατανομή	$μ$	$σ^{2}$
Bernoulli	$p$	$p (1 - p)$
Διωνυμική	$n p$	$n p (1 - p)$
Γεωμετρική	$\frac{1}{p}$	$\frac{q}{p^{2}}$
Πασκάλ	$\frac{k}{p}$	$k * \frac{q}{p^{2}}$
Υπεργεωμετρική	$n p$	$n p (1 - p) \frac{N - n}{N - 1}$
Poisson	$λ$	$λ$

Συνεχείς

Εφεξής ΣΚ.

Table 3: Συνοπτικός πίνακας για τις ΣΚ.
Κατανομή	Περιγραφή	ΣΜΠ
Gaussian	Γιατί γίνεται να υπάρξει μάθημα μηχανικού χωρίς Gauss?	$f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}$
Λογαριθμοκανονική	Αντίγραψε την μα άλλαξε την να μην μας καταλάβουνε	$f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}} x} e^{- \frac{(\ln x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}$
Εκθετική	Όπου λογάριθμος και εκθετική. Ενδεικτική του χρόνου μεταξύ δύο γεγονότων	$f_{X} (x) = λ e^{- λ x}$
Erlang	Εκθετική μα για τον χρόνο μεταξύ κ γεγονότων	$f_{X} (x) = \frac{λ^{k - 1} x^{k - 1}}{(k - 1)!} λ e^{- λ x}$
Laplace	Αντίγραψε την μα άλλαξε την να μην μας καταλάβουνε	$f_{X} (x) = \frac{1}{2} λ e^{- λ \abs x}$

Κατανομή	$μ$	$σ^{2}$
Gaussian	$μ$	$σ^{2}$
Λογαριθμοκανονική	$e^{μ + \frac{σ^{2}}{2}}$	$e^{2 μ + σ^{2}} (e^{σ^{2}} - 1)$
Εκθετική	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ^{2}}$
Erlang	$\frac{k}{λ}$	$\frac{k}{λ^{2}}$

Η κατανομή Bernoulli είναι πολύ απλή στην κατανόηση: έστω ότι έχουμε ένα πείραμα με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία ή αποτυχία), με το αποτέλεσμα του να δίνεται από την τιμή της τμ $X$ , 1 ή 0 αντίστοιχα. Αυτού του είδους τα πειράματα λέγονται πειράματα Bernoulli, και η $X$ λέμε πως ακολουθεί κατανομή Bernoulli:

Έχει ΣΜΠ:

\begin{matrix} (1) & f_{X} (x) = {\begin{cases} p & success \\ 1 - p & failure \end{cases} \end{matrix}

Το οποίο σε μορφή συναρτήσεων συνεχούς χρόνου μπορεί να γραφτεί ως εξής:

f_{X} (x) = p δ (x - 1) + (1 - p) δ (x)

Binomial

Χτίζοντας επί της Bernoulli: Έστω ότι επαναλαμβάνουμε το πείραμα Bernoulli $n$ φορές. Η τυχαία μεταβλητή που μετρά το πλήθος των επιτυχιών σε $n$ ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli ακολουθεί διωνυμική κατανομή και η ΣΜΠ της δίνεται από την:

\begin{matrix} (2) & f_{x} (x) = p_{x} (x) = (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x} \end{matrix}

Η διωνυμική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν η σειρά με την οποία ήρθαν τα αποτελέσματα έχει σημασία.

Μπορεί να γραφεί ως pdf με την χρήση $δ$ functions, όπως είδαμε και στην Bernoulli.

\begin{matrix} (3) & F_{y} (y) = \sum_{k = 0}^{y} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \end{matrix}

Γεωμετρική κατανομή

Έστω και πάλι πως επαναλαμβάνουμε ένα πείραμα Bernoulli $X$ φορές: τόσες όσες χρειάζεται για να έχουμε την πρώτη επιτυχία. Η τυχαία μεταβλητή $X$ , που περιγράφει τον αριθμό των δοκιμών μέχρι την πρώτη επιτυχία ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με:

\begin{matrix} (4) & f_{X} (x) = p (1 - p)^{x - 1} \end{matrix}

Προκύπτει πολύ εύκολα, όπως και οι περισσότερες διακριτές κατανομές με την λογική

Pascal

Όταν μία τμ $X$ λέμε πως ακολουθεί κατανομή Pascal, ή αλλιώς αρνητική διωνυμική, τότε η τιμή της είναι ενδεικτική του πλήθους των δοκιμών που χρειάστηκαν μέχρι την $k$-οστή επιτυχία ( ή του πλήθους των αποτυχιών που χρειάστηκαν, με μία μικρή μεταβολή στους τύπους )

Αν και το όνομα είναι αρκετά παραπλανητικό, έχει άμεση σχέση με την γεωμετρική κατανομή. Ακόμα ο όρος $(\binom{k - 1}{x - 1})$ έχει αυτή την μορφή καθώς ξέρουμε ήδη πως το τελευταίο στοιχείο θα είναι (η $k$οστή) επιτυχία.

Υπεργεωμετρική

Μια πολύ ενδιαφέρουσα κατανομή γιατί αν και συναντάει ευρεία εφαρμογή σε πειράματα Bernoulli μπορεί να επεκταθεί και σε συνθετότερα πειράματα (με περισσότερα αποτελέσματα).

Το γενικό concept (εξήγηση για πειράματα Bernoulli)

Έστω οτι έχουμε πραγματοποιήσει $N$ επαναλήψεις ενός πειράματος Bernoulli, στις οποίες οι $k$ ήταν επιτυχίες. Αυτό προφανώς σημαίνει πως οι $(N - k)$ ήταν αποτυχίες. Αν ορίσουμε τμ Χ τέτοια ώστε να περιγράφει το πλήθος επιτυχιών σε μία τυχαία δειγματοληψία (επιλογή $n$ τυχαίων στοιχείων εκ των $Ν$ ), τότε εκείνη λέμε οτι ακολουθεί υπεργεωμετρική κατανομή, και η ΣΜΠ της δίνεται από την:
$\begin{matrix} (5) & f_{X} (x) = \frac{(\binom{N - k}{n - x}) (\binom{k}{x})}{(\binom{N}{n})} \end{matrix}$
Επέκταση για $z$ διαφορετικά αποτελέσματα

Τώρα αν το πείραμα μας δεν έχει μόνο 2 αλλά $z$ διαφορετικά αποτελέσματα και \(N_i\forall iέφεραν το $i$οστό αποτέλεσμα έχουμε²:
$\begin{matrix} (6) & f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots) = \frac{(\binom{N_{1}}{x_{1}}) (\binom{N_{2}}{x_{2}}) (\binom{N_{3}}{x_{3}}) (\binom{N_{4}}{x_{4}}) \dots}{(\binom{N}{n})} \end{matrix}$

Συνεχείς

Gaussian Κανονική

Η μόνη της οποίας το πλήρες μοντέλο προσδιορίζεται από μόνο δύο ροπές. Αν ξέρεις μέση τιμή και διασπορά ξέρεις τα πάντα.
Η γραφική της παράσταση είναι πολύ εύκολη στην αναγνώριση: καμπάνα
Συχνά, μία μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή την συμβολίζουμε ως: $X \sim N (μ, σ^{2})$
Εξαιρετικά κρίσιμη όπως θα φανεί σε επόμενη διάλεξη γιατί προσεγγίζει όλες τις κατανομές.
- Με αυτόν τον τρόπο, για παράδειγμα, σχετίζεται με τον θόρυβο στις τηλεπικοινωνίες.

Μετασχηματισμός μεταβλητής με κανονική κατανομή

Έστω ότι έχουμε τμ $X$ που ακολουθεί κανονική κατανομή:

\begin{matrix} (7) & X \sim N (μ, σ^{2}) \end{matrix}

τότε:

\begin{matrix} (8) & Y = a X + b \Rightarrow Y \sim N (α μ + b, α σ) \end{matrix}

Κανονικοποίηση

Αν δεν έχεις διαβάσει προηγουμένως μια μαθηματική ανάλυση (έστω την επόμενη παράγραφο) ίσως το αντικείμενο αυτής δεν είναι τόσο ξεκάθαρο.
Η ΑΣΚ της κανονικής κατανομής έχει την μορφή:

\begin{matrix} (9) & F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{x} (r) d r = \dots = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\frac{x - μ}{σ}} e^{- \frac{u^{2}}{2}} d u = Φ (\frac{x - μ}{σ}) \end{matrix}

Το ολοκλήρωμα είναι μόνο αριθμητικά υπολογίσιμο, αναγκάζοντας μας να στραφούμε σε πίνακες για τον υπολογισμό του.
Την ίδια στιγμή, παρατηρώντας την παραπάνω σχέση προκύπτει πως η ΑΣΚ μιας οποιασδήποτε τμ $X \sim N (μ, σ^{2})$ ανάγεται στην ΑΣΚ της $N (0, 1)$
Οπότε μπορούμε να πούμε ότι κανονικοποιούμε την κανονική κατανομή υιοθετώντας την σχέση $z = \frac{x - μ}{σ}$

Σχέση με $Φ$

Ορίζουμε συνάρτηση

\begin{matrix} (10) & Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{u^{2}}{2}} d u \end{matrix}

όπως άλλωστε είδαμε και στην προηγούμενη παράγραφο. Έχουμε έτσι:

\begin{matrix} (11) & F_{X} (x) = Φ (\frac{x - μ}{σ^{2}}) \end{matrix}

Ισχύει η ιδιότητα:

\begin{matrix} (12) & Φ (- x) = 1 - Φ (x) \end{matrix}

[ ] Προς ανάπτυξη: Ροπογεννήτρια συνάρτηση και $Φ$ όπως την είδαμε εδώ.

Σχέση με Gaussian $Q$

Ορίζουμε συνάρτηση:

\begin{matrix} (13) & Q (x) = 1 - Φ (x) \end{matrix}

της οποίας η εφαρμογή στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα υπογραμμίζεται στο βιβλίο των Καραγιαννίδη, Χατζηδιαμαντή. Δεν αναλύθηκε ιδιαίτερα στην διάλεξη, πέραν από την σύνδεσή της με την συνάρτηση λάθους

\begin{matrix} (14) & e r f c = complimentary e r f (x) = 1 - e r f (x) = 2 Q (\sqrt{2} x) \end{matrix}

Ακόμα, μέσω αυτής ορίζονται ουσιαστικά τα Όρια Chernoff - Rubin

Εκθετική κατανομή

Πολύ σημαντικές ιδιότητες:

\begin{aligned} (15) & P r {X > a + b} & = P r {X > a} P r {X > b} \\ (16) & P r {X > a + b | X > a} & = P r {X > b} \end{aligned}

η δεύτερη ιδιότητα λέγεται memoryless property

Erlang

Όπως γράφει και παραπάνω, χρήσιμη όταν μας ενδιαφέρει ο χρόνος μεταξύ $k$ διαδοχικών γεγονότων και όχι μόνο δύο, στην οποία περίπτωση και χρησιμοποιούμε την εκθετική κατανομή.
Αναφέρθηκε το παράδειγμα της ουράς σουπερμαρκετ, αυξανόμενου αριθμού πελατών.

Ακόμα

Αναφερθήκαμε συνοπτικά σε

Rayleigh
Weibull

Footnotes:

Τώρα να ρωτήσει κανείς γιατί δεν λέγεται η Πασκάλ υπεργεωμετρική και λέγεται αρνητική διωνυμική?

Ακόμα, εξ’ ορισμού ισχύει: $\sum_{i = 1}^{z} N_{i} = N$

Διάλεξη 5: Γνωστές Κατανομές

Table of Contents

Footnotes: