Διάλεξη 2: Τυχαίες μεταβλητές
Table of Contents
Τυχαίες μεταβλητές
Μετάβαση από τα αορίστως ορισμένα γεγονότα σε καλύτερα ορισμένα.
Δόθηκε ιδιαίτερη έμφαση στο να θυμάται κανείς ότι η τιμή της τμ δεν είναι αριθμός αλλά σύνολο γεγονότων
Τύποι
Κλασσικά:
- Συνεχείς (παράδειγμα: γωνία στον τροχό της τύχης)
- Διακριτές (παράδειγμα: … κορώνα γράμματα)
- Μεικτού τύπου
Συνάρτηση Κατανομής πιθανότητας (CDF)
Κλιμακωτή συνάρτηση κατανομής
Όταν βλέπεις κλιμακωτή συνάρτηση κατανομής γνωρίζεις πως εκείνη σχετίζεται με διακριτή τμ.
Ιδιότητες συν καταν
Οι κλασσικές ιδιότητες της ΑΣΚ:
\begin{align*} F_X(-\infty) &= 0\\ F_X(\infty) &= 1\\ \end{align*}ενώ ακόμα:
- η \(F_X\) αύξουσα
- Συνεχής εκ δεξιών
- \(1-F_X\), συχνά ορισμένη ως συμπληρωματική (complementary) συνάρτηση της \(F_X\), και συμβολίζεται ως \(F^{C}_X\)
Προσεγγίζοντας την πιθανότητα σε σημείο
Αυτό είναι για όταν μπλέκουμε με την πιθανότητα:
\begin{equation} \label{eq:1} Pr\{ x_1 \leq X \leq x_2 \} \end{equation}Υπο αυτές τις συνθήκες, γνωρίζοντας ήδη από την ΑΣΚ: \(Pr\{\cdots\} = F(x_2) - F(x_1)\):
Έχουμε: \(x_2= x, x_1 = x-\epsilon, \epsilon\to0\), εκ του οποίου:
\begin{equation} \label{eq:2} Pr\{\cdots\} = F(x) - F(x^{-}) \end{equation}Όπου προφανώς \(x^-\) είναι η εκ δεξιάς προσέγγιση του \(x\)
Με βάση την \(F_x\), ακόμα μπορούμε να διακρίνουμε τις τμ.
- \(F_X\) συνεχής, τότε η τμ συνεχούς τύπου
- \(F_X\) κλιμακωτή, τότε η τμ διακριτού τύπου
- \(F_X\) συνδυασμός των παραπάνω, τότε η τμ μεικτού τύπου
Στην περίπτωση, λοιπόν, της συνεχούς (τουλάχιστον στα εμπλεκόμενα σημεία) τμ, η πιθανότητα ισούται με το 0. Δεν υπάρχει ασυνέχεια, ούτε και ουσιαστική πιθανότητα να συμβεί ένα εκ των απείρων γεγονότων.
Αυτό, όμως, αλλάζει όταν έχουμε ασυνέχεια. Ισχύει δηλαδή πως αυτή η πιθανότητα είναι ίση με το πλάτος της ασυνέχειας που παρουσιάζεται σε εκείνο το σημείο
Παραδείγματα.
Λύθηκαν, από τις διαφάνειες, μερικά απλά παραδείγματα ( για αυτό και δεν σημειώθηκαν ).
Παράδειγμα εξέτασης για ΑΣΚ
- Σε αυτό το παράδειγμα, η συνάρτηση δεν ήταν ΑΣΚ καθώς δεν ήταν συνεχής απο δεξιά. (Το μόνο που κάνεις είναι: ελέγχεις τις ιδιότητες)
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF)
Εφεξής ΣΠΠ.
Ορίζεται, κατά τον Νέστορα, βάση της ΑΣΚ:
\begin{equation} \label{eq:3} f_X = \frac{dF_X}{dt} \end{equation}Και οι ιδιότητες της είναι οι κλασσικές:
\begin{align*} f_X(x) &\geq 0, \forall x\\ \int_{-\infty}^{\infty}f_Xdx &= 1\\ F_X &= \int_{\infty}^tf_Xdx\\ Pr\{x_1 < X \leq x_2\} &= \int_{x^{+}_1}^{x^{ +}_2}f(x)dx\\ Pr\{x_1 \leq X \leq x_2\} &= \int_{x^{-}_1}^{x^{ +}_2}f(x)dx\\ \end{align*}Μορφή συναρτήσεων ΔΤΜ
Προφανώς ΔΤΜ: Διακριτή τυχαία μεταβλητή.
Όπως είπαμε προηγουμένως στην κλιμακωτή συνάρτηση κατανομής, όταν δουλεύουμε με ΑΣΚ η γραφική παράσταση της \(F_X\) διακριτής τμ είναι κλιμακωτή, ενώ (χτίζοντας επί εκείνου) η ΣΜΠ (συνάρτηση μάζας πιθανότητας - pmf) έχει την μορφή αθροίσματος συναρτήσεων \(\delta\) (δέλτα)
Ισχύει δηλαδή
\begin{equation} \label{eq:4} f_X(x) = \sum_{i=1}^np_i\delta(x-x_i) \end{equation}Δεσμευμένες πιθανότητες ( Πιθανότητες υπό συνθήκη )
Συμβολίζουμε τις ΑΣΚ και ΣΠΠ των δεσμευμένων, έτσι, πιθανοτήτων ως εξής:
- ΑΣΚ: \(F_{X|A}\)
- ΣΠΠ: \(f_{X|A}\)
Ακόμα έχουμε: Αν το γεγονός \(A=\{X\leq \alpha\}\)
\begin{align} \label{eq:6} F_{X|A} =& \begin{cases} 1 & x\geq \alpha\\ \frac{Pr\{X\leq x\}}{Pr\{X\leq \alpha\}} & x\geq \alpha\\ \end{cases} \\ f_{X|A} =& \begin{cases} 1 & x\geq \alpha\\ \frac{Pr\{X\leq x\}}{Pr\{X\leq \alpha\}} & x\geq \alpha\\ \end{cases} \end{align} \begin{align*} \label{eq:9} f_x &= \frac{d{F_X}}{d{x}}\\ F_X(\alpha) &= \int_{-\infty}^{\alpha} f_xdx \end{align*}Χτίζοντας πιο σύνθετες πιθανότητες
Αν, πάλι, το \(B=\{a < X \leq b\}\) έχουμε:
\begin{equation} \label{eq:7} F_{X|B}(x) = \frac{Pr\{X\leq x, a< X \leq b\}}{Pr\{ a < X \leq b\}} \end{equation}το οποίο μπορούμε να το αναλύσουμε με τις εξής συνθήκες:
- \(x\leq a\)
- \(x\geq b\)
- \(x\in (a,b)\)
Έτσι καταλήγουμε:
\begin{equation} \label{eq:10} F_{X|B}(x) = \begin{cases} 0 & x\leq a\\ 1 & x\geq b\\ \frac{F_X(x) - F_X(\alpha)}{F_X(b) - F_X(\alpha)} & x\leq a \end{cases} \end{equation}Οι πρώτες δύο σχέσεις είναι αυτονόητες, ενώ η τρίτη προκύπτει από το γεγονός οτι για \(x\in (\alpha,b)\), \(Pr\{X\leq x, \alpha < X\leq b\}\) γίνεται \(Pr\{\alpha< X\leq x\}\)