Διάλεξη 2: Ευστάθεια με διαγωνιοποίηση

• Γιατί εξετάζουμε γραμμικά συστήματα ενώ όλα τα πραγματικά είναι μη γραμμικά;
  1. Προσομοίωση/προσέγγιση μη γραμμικού συστήματος σε μια αυστηρά ορισμένη περιοχή λειτουργίας.
  2. Καλύτερη αίσθηση ελέγχου. Ουσιαστικά αντιλαμβανόμαστε καλύτερα τα γραμμικά συστήματα.
  3. Ευκολότερη ερευνητική μελέτη: όσο πιο απλό είναι το εξεταζόμενο αντικείμενο τόσο πιο εύκολα μπορεί να περιγραφεί και να αναλυθεί από τους όποιους μελετητές.

Έστω το δοθέν σύστημα

\begin{equation} \label{eq:1} {\dot x} = f(x,u) \end{equation} \begin{equation} \label{eq:2} y = h(x,u) \end{equation}

όπου έχουμε \(x\in {\mathbb R}^n, u\in {\mathbb R}^m, y\in {\mathbb R}^p\)

Το σύστημα θα λέγεται γραμμικό (σε κάποια περιοχή) αν μπορεί να περιγραφεί από εξισώσεις της μορφής:

\begin{align} \label{eq:3} {\dot x} &= Ax + Bu \\ y &= Cx + Du \end{align}

Ουσιαστικά η συγκεκριμένη ενότητα έχει αναλυθεί (μερικώς) στα μαθήματα των κυκλωμάτων: Αρχές της ομογένειας και της επαλληλίας …

Πιο αυστηρά, προκειμένου το σύστημα γραμμικό θα πρέπει να ισχύουν οι τρεις παρακάτω ιδιότητες:

Για είσοδο \(u\) την βηματική, στην αρχή \(u(t)\) και κατόπιν \(u(t-t_0)\), ένα σύστημα θα λέγεται χρονικά αμετάβλητο αν:

1. Οι πίνακες που εμφανίζονται στις εξισώσεις \(\ref{eq:3}\) να μην έχουν άμεση εξάρτηση από τον χρόνο
2. Η έξοδος του συστήματος στις δύο περιπτώσεις που γράφτηκαν στο εισαγωγικό κομμάτι της παραγράφου να είναι πανομοιότυπες μα χρονικά μετατοπισμένες (ως αναμενόμενο)

Θέτοντας \(u=0\) στο σύστημα της \(\ref{eq:3}\):

\begin{equation} \label{eq:9} {\dot x} = Ax, x(0) = x_0 \end{equation}

Για \({\dot x}= ax\) γνωρίζουμε πως η ομογενής λύση:

\begin{equation} \label{eq:10} x(t) = e^{at}x_0, \forall t\geq 0, a \in {\mathbb R} \end{equation}

Προκειμένου να γενικεύσουμε την παραπάνω λύση (\(\ref{eq:10}\)), ορίζουμε τον πίνακα:

\begin{align} \label{eq:11} e^{\mathcal{X}} &= I + \mathcal{X} + \frac{1}{2}\mathcal{X}^2 + \frac{1}{3!}\mathcal{X}^3 + \cdots =\\ &= \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} \mathcal{X}^k \end{align}

Εκ της παραπάνω σχέσης, λοιπόν:

\begin{equation} \label{eq:12} e^{At} = \cdots = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} A^kt^k \end{equation}

οπου παραγωγίζοντας την \(\ref{eq:12}\):

\begin{equation} \label{eq:13} \frac{d{e^{At}}}{d{t}} = \cdots \stackrel{\text{diy}}{=} Ae^{At} \end{equation}

Επομένως καταλήγουμε ότι στην απαιτούμενη εξίσωση, την \(\ref{eq:9}\), δείχνοντας οτι το \(e^{At}\) αποτελεί λύση του συστήματος.

Δοθέντος συστήματος:

\begin{equation} \label{eq:15} {\dot x} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} u \end{equation}

Ζητείται να υπολογιστεί ο πίνακας μετάβασης.

Σε αυτή την φάση όλα και όλα αυτά που έχουμε είναι ο \(\ref{eq:12}\). Παρατηρούμε ότι \(A^2=0\), λόγω της δομής του πίνακα. Επομένως τελικά έχουμε:

\begin{equation} \label{eq:17} e^{At} = I + At = \begin{bmatrix} 1 & t\\0 &1 \end{bmatrix} \end{equation}

και εξ αυτού:

\begin{equation} \label{eq:18} \vec{y} = e^{At}x_0 = \begin{bmatrix} 1&t\\0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(0)\\x_2(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1(0) + tx_2(0)\\x_2(0) \end{bmatrix} \end{equation}

Όπως προκύπτει από αυτές τις εξισώσεις, το σύστημα θα είναι ασταθές, καθώς χωρίς είσοδο ελέγχου παρατηρούμε ότι η είσοδος απειρίζεται.

Δουλεύοντας στην \(\ref{eq:9}\)

\begin{align} \label{eq:19} \stackrel{\text{Laplace}}{\Rightarrow} sX(s) - X(0) &= AX(s)\iff\\ (sI -A)X(s) &= X(0)\\ X(s) &= (sI-A)^{-1}X(0)\\ \Rightarrow x(t)&= \mathcal{L}^{-1} \{ (SI-A)^{-1}\} x(0) \end{align}

Η οποία σχέση αποκτά ακόμα μεγαλύτερη σημασία όταν συνδυάζεται με την (\(\ref{eq:10}\)), όπως φαίνεται στο παράδειγμα:

Δοθέντος πίνακα \(A\):

\begin{equation} \label{eq:21} A = \begin{bmatrix} 0 & 1\\\ -2 & -3 \end{bmatrix} \Rightarrow \cdots \Rightarrow X(s) = \frac{1}{s^2+3s+2} \begin{bmatrix} s+3 & 1\\ -2 & 5 \end{bmatrix} \end{equation}

όπου τελικά προκύπτει:

\begin{equation} \label{eq:22} e^{At} = \mathcal{L}^{-1} \{ (SI -A)^{-1} \} = \begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t} + 2 e^{-2t} \end{bmatrix} \end{equation}

Ακόμα ο πίνακας μετάβασης βοηθάει την εξέταση της ευστάθειας του συστήματος. Θα πρέπει κάθε στοιχείο του πίνακα να μην απειρίζει όταν το \(t\to \infty\)