Βασικά θεωρήματα και αξιώματα πιθανοτήτων
Table of Contents
Ανακεφαλαίωση: Μαθηματικοί τύποι δειγματοληψίας
Στις παρουσιάσεις του μαθήματος φαίνονται οι συγκεκριμένοι τύποι, χαρακτηριζόμενοι από το αν η σειρά έχει σημασία και από το κατα πόσο είναι αποδεκτή η επανεμφάνιση κάποιου στοιχείου. Ας τους δούμε περισσότερο
\begin{align} n^k\\ \binom{n}{k}\\ \frac{n!}{(n-k)!k!}\\ \binom{n+k-1}{k} \end{align}Έστω ότι έχουμε 4 κάρτες ( ξεχωριστές ) και θέλουμε να δούμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τις μοιράσουμε ( αν δεν ενδιαφερόμαστε για την σειρά τους)
Κάθε τρόπο που μπορούμε να τις μοιράσουμε:
Αυτό θα ήταν το δυναμοσύνολο που συναντήσαμε στην προηγούμενη διάλεξη άρα \(2^n=2^4=16\) πιθανές διαφορετικές μορφές.
Εστιάζουμε όμως, για να φανεί η χρησιμότητα των παραπάνω τύπων, στις πιθανές τριάδες που μπορούν να σχηματιστούν:
Με διάταξη και επανάθεση
Αν στις τριάδες που θα φτιάξουμε μπορούμε να έχουμε την ίδια κάρτα σε δύο θέσεις ( μάλλον άστοχη η επιλογή του παραδείγματος, μα και πάλι ), οι πιθανοί συνδυασμοί που μπορούν να προκύψουν είναι:
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 3 |
| … | … | … |
| 4 | 4 | 4 |
Το πλήθος των οποίων δίνεται από την:
\begin{equation} n^k \end{equation}- Παρατήρηση:
Το συγκεκριμένο είναι εύκολο να προκύψει και από κάποιον που έχει έστω βασικές γνώσεις προγραμματισμού και μέσω της πολυπλοκότητας nested loops, καθώς υπολογίζεις κάθε πιθανή μορφή - brute-forcing.
Με διάταξη χωρίς επανάθεση
Αν όμως δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια κάρτα παραπάνω από μια φορές τότε αλλάζει εντελώς ο τύπος. Αυτό είναι εύκολα κατανοητό. Στις \(n\) κάρτες, μπορούμε να επιλέξουμε \(n\), ενώ αφαιρώντας μια, την επόμενη θέση μπορούν να πάρουν \(n-1\), \(n-2\), …, \(n-k+1\) κάρτες. Εξού και ο τύπος:
\begin{equation} n(n-1)(n-2)(n-\cdots)(n-k+1) \end{equation}- Παράδειγμα: Πρόεδρος, ταμίας γραμματέας
Επιλέγω τον πρόεδρο και κατόπιν επιλέγω τα υπόλοιπα μέλη του συμβουλίου: Είναι \(k = 3, n = 25\), όπου \(n\) ο υποτιθέμενος αριθμός των υποψηφίων:
Οι περιπτώσεις δίνονται από την:
\begin{equation} 25(25-1)(25-2) = 25\cdot 24 \cdot 23 = 13800 \end{equation}
Χωρις διάταξη, με επανάθεση
Δεν το έχω ξεκαθαρίσει αρκετά στο μυαλό μου - με κάποιο παράδειγμα: Είναι απλά ένας τύπος.
\begin{equation} \binom{n+k-1}{k} \end{equation}- Ισοδύναμη έκφραση
Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε \(k\) πανομοιότυπα στοιχεία σε \(n\) κουτία
Χωρίς διάταξη, χωρίς επανάθεση
Να χωρίσουμε τα \(n\) στοιχεία ανά \(k\) στοιχεία. Η σειρά δεν μας νοιάζει, μα προφανώς, δεν μπορούμε να τα επαναχρησιμοποιήσουμε.
\begin{equation} \binom{n}{k} \end{equation}- Κάρτες και full house
Θέλουμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες κάποιος να έχει full house.
Χωρίζουμε τις επιμέρους έννοιες:
- Έστω αρχικά οι πιθανοί συνδυασμοί έτσι ώστε να καταλήξουμε με μια τριάδα εκ των ίδιων φύλλων: \(\binom{4}{3}\) Αυτό συμβαίνει γιατί για κάθε τύπο φύλλου ( άσσους, δυάρια, τριάρια κτλ ) θέλουμε όλους τους τρόπους χωρίς επανάθεση που μπορεί να υπάρξει τριάδα Έτσι οι περιπτώσεις να αποκτήσουμε τριάδα δίνονταί από την
- Τώρα θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να έχουμε και δυάδα από κάποιο εκ των υπολοιπόμενων φύλλων: \(( 13 - 1 = 12 )\) Άρα το δεύτερο συμβάν που θέλουμε να λάβει χώρα είναι το \(B\), το οποίο δίνεται περιγράφεται από την:
Το επόμενο λογικό βήμα είναι να υπολογίσουμε τις πιθανότητες να συμβούν τα \(A,B\) ταυτόχρονα, το οποίο είναι άλλωστε και το ζητούμενο:
\begin{align*} \prod = \frac{A\times B}{\binom{52}{5}} = \frac{13\binom{4}{3}\times12\binom{4}{2}}{\binom{52}{5}} \end{align*}
Ταυτότητες
Παραδείγματα
Ρίψεις νομίσματος ( Bose-Einstein )
Έστω ότι ρίχνουμε το ίδιο νόμισμα δύο φορές. Οπότε έχουμε \(A= \text{2 coin flips}\).
Ο τύπος \(n^k\) μας δίνει \(4\) καθώς έχουμε
K K Γ Γ Κ Γ Γ Κ - Όμως, αν δεν ξεχωρίζουμε μεταξύ των ΚΓ και ΓΚ, ο τύπος \(\binom{n+k-1}{k}\) είναι προφανώς καλύτερος, αφού συμπυκνώνει εκείνες τις δύο πιθανότητες σε μία, δίνοντας μας 3.
Εννοια της πιθανότητας
Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε την έννοια του δειγματοχώρου ( sample space ), \(S\). Έστω τώρα ένα σύνολο γεγονότων (δειγματοσημείων) που θέλουμε να συμβούν \(A\). Ορίζουμε την πιθανότητα να συμβεί το \(A\) ως το πηλίκο του πλήθους των στοιχείων του \(A\) με το πλήθος δυνατών δειγματοσημείων.
\begin{equation} P(A) = \frac{\text{number of desired sample points}}{\text{number of possible sample points}} \end{equation}Παράδειγμα:
Έστω σε μία μάντρα αυτοκινήτων 8 χαλασμένα αυτοκίνητα, στα 20 συνολικά. Επιλέγονται τυχαία 4 για έλεγχο. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγεί μόνο 1 ελαττωματικό: Ορίζω ως \(A = \text{only one faulty car}\)
\begin{align*} P(A) = \frac{\binom{8}{1}\binom{12}{3}}{\binom{20}{4}} = \cdots = \frac{220}{4845} = 0.0454 \approx 4.5% \end{align*}Πως το υπολογίσαμε:
- Βρήκαμε το πλήθος των περιπτώσεων που μας έδιναν μόνο ένα χαλασμένο αυτοκίνητο, χωρίζοντας το στην συλλογή από τα δύο ξεχωριστά υποσύνολα αυτοκινήτων ( εκείνα που λειτουργούσαν και εκείνα που δεν λειτουργούσαν ).
- Βρήκαμε το πλήθος όλων των περιπτώσεων επιλογής 4 αυτοκινήτων
- Εφαρμόσαμε των τύπο της πιθανότητας
Πρόβλημα γενεθλίων
Επανερχόμαστε στο πρόβλημα των γενεθλίων που αναφέρθηκε και στις σημειώσεις της πρώτης διάλεξης. Ποια είναι η πιθανότητα από τα \(n\) άτομα να υπάρχουν τουλάχιστον 2 άτομα που να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα.
Αρχικά, θα χρειαστεί να επαναπροσδιορίσουμε το πρόβλημα, θέτοντας μερικούς κανόνες:
- Βγάζουμε την 29η Φεβροθαρίου
- Ανεξαρτησία γενεθλίων Τα γενέθλια όλων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους
\(A = \{ \text{2 out of K have birthday on the same day} \}\)
Είναι δύσκολο να προσεγγίσουμε το πρόβλημα ως προς το \(A\). Αντ’ αυτού μπορούμε να το προσεγγίσουμε ως προς \(\bar{A}\) και κατόπιν να εφαρμόσουμε την \(1 = P(A) + P(\bar{A})\):
Επομένως:
\begin{equation} P(\bar{A}) = \frac{365\cdot364\cdots (366-k)}{365^k} \end{equation}Αναλύοντας λίγο περισσότερο αυτόν τον τύπο:
- Αριθμητής: Πλήθος υποσυνόλων \(k\) εκ των \(365\) στοιχείων, χωρίς επανάθεση, μα με διάταξη. Η αλήθεια είναι πως δεν καταλαβαίνω γιατί χρησιμοποιήθηκε το συγκεκριμένο παρόλο που από μαθηματικής άποψης βγάζει νόημα. Το με διάταξη με χαλάει.
- Παρονομαστής: Όλες οι πιθανές, με διάταξη και επανάθεση περιπτώσεις:
Καθώς, όπως άλλωστε αναφέρθηκε και προηγουμένως, \(P(A) = 1 - P(\bar{A})\) έχουμε:
\begin{equation} P(A) = \begin{cases} 50.7\% &k=23\\ 97\% &k=50\\ 99.99\% &k=100 \end{cases} \end{equation}Το οποίο δείχνει ότι ήδη για \(k \geq 23\) είναι πιο πιθανό να συμπίπτουν τα γενέθλια μελών του κοινού από ότι το να μη συμβαίνει.
Αξιώματα πιθανότητας Kolmogorov για πεπερασμένο δειγματοχώρο
Ο χώρος πιθανοτήτων αποτελείται από τον δειγματοχώρο \(S\) και την συνάρτηση \(P: A \subseteq S\), για την οποία ισχύουν τα παρακάτω:
- \(0\leq P(A)\leq 1\)
- \(P(S) = 1\)
- Αν \(A,B\) ξένα μεταξύ τους: \(P(A\cup B) = P(A)+P(B)\)
Βασικά θεωρήματα πιθανότητας
- \(P(\emptyset)=0\)
- \(P(A)=1-P(\bar{A})\)
- \(A\subseteq B \Rightarrow P(A)\leq P(B)\)
- \(P(B-A) = P(B) - P(A\cap B)\)
- \(P(B\cup A) = P(A)+P(B) -P(A\cap B)\)
They have been added twice, one could think of it in the same way as
\begin{equation} \cos{x} = \frac{e^{\jmath x}+e^{-\jmath x}}{2} \end{equation}