Σειρές Fourier

Fourier και διατύπωση συνάρτησης με την χρήση βάσεων
Τύποι
- Σχόλιο για τους συντελεστές
Συνθήκες Dirichlet
Συμμετρία και συντελεστές
- Είδη συμμετρίας και σχέση με τους συντελεστές.
Ενέργεια και ισχύς σειρών Fourier
Resources:

Οι σειρές Fourier βρίσκουν εφαρμογή σε πολλούς διαφορετικούς τομείς. Ο κρισιμότερος (από ότι φαίνεται) για τους μηχανικούς είναι η σχέση που έχουν με τον μετασχηματισμό Fourier, επιτρέποντας μας να πάμε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας.

Fourier και διατύπωση συνάρτησης με την χρήση βάσεων

Είναι σημαντικό να καταλάβουμε πως οι σειρές Fourier είναι κάτι παραπάνω από την ανάλυση μίας συνάρτησης σε άθροισμα επιμέρους συναρτήσεων (τριγωνικής ή εκθετικής) μορφής.

Αποτελεί, στην πραγματικότητα, την ανάλυση της συνάρτησης σε άθροισμα των βάσεων του εξεταζόμενου χώρου, σε ορθογώνιες, δηλαδή, μεταξύ τους συνιστώσες.

Αποδεικνύεται πως βάσεις στον πραγματικό και τον μιγαδικό χώρο αντίστοιχα αποτελούν οι συναρτήσεις:

\begin{array}{r} (1) & \frac{\sqrt{2}}{T} \cos (n ω_{0} t) \\ (2) & \frac{\sqrt{2}}{T} \sin (n ω_{0} t) \\ (3) & \frac{\sqrt{1}}{T} e^{j n ω_{0} t} \end{array}

Τύποι

Καθώς είδαμε στις $((1))$ τις βάσεις του μιγαδικού και του πραγματικού χώρου αντίστοιχα είναι αναμενόμενο το να μπορούμε να εκφράσουμε μία τυχαία συνάρτηση ως άθροισμα αυτών ( με κατάλληλους συντελεστές ). Και αυτό συμβαίνει σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις (Συνθήκες Dirichlet).

Τριγωνομετρική (Trigonometric):

\begin{aligned} (4) & \hat{f} & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n ω_{0} t) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \cos (n ω_{0} t) & type A \\ (5) & \hat{f} & = \frac{A_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} \cos (n ω_{0} t) + ϕ_{n} & type B \end{aligned}

Εκθετική (Complex Exponential)

\begin{matrix} (6) & \hat{f} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} f_{n} \cos (n ω_{0} t) \end{matrix}

Σχόλιο για τους συντελεστές

Ο όρος μπροστά αποτελεί κανονικοποίηση και προκύπτει από τον ορισμό εν τέλη των βάσεων ( Το $\cos (n ω_{0} t)$ δεν αποτελεί βάση αλλά το $\sqrt{\frac{2}{T}} \cos (n ω_{0} t)$ είναι)

Οι συντελεστές των βάσεων στις παραπάνω εξισώσεις ( $(4), ((5)), ((6))$ ), δεν είναι παρά οι προβολές της συνάρτησης επί των αντίστοιχων βάσεων:

\begin{aligned} (7) & a_{n} & = \frac{2}{T} \int_{t_{1}}^{t_{1} + T} f (t) \cos (n ω_{0} t) d t \\ (8) & b_{n} & = \frac{2}{T} \int_{t_{1}}^{t_{1} + T} f (t) \sin (n ω_{0} t) d t \\ (9) & F_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{1}}^{t_{1} + T} f (t) e^{- ȷ ω_{0} n t} d t \end{aligned}

ενώ για τον τριγωνομετρικό τύπο Β (που δεν είναι παρα μία εναλλακτική /αποτύπωση του Α):

\begin{aligned} (10) & A_{0} & = \frac{a_{0}}{2} \\ (11) & A_{n} & = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}} \\ (12) & ϕ_{n} & = \arctan (\frac{b_{n}}{a_{n}}) \end{aligned}

Ακόμα, αν και δεν είναι τόσο σημαντικό, ενδιαφέρουσα είναι και η σχέση μεταξύ του τριγωνομετρικού τύπου Β και του εκθετικού:

\begin{aligned} A_{n} & = 2 | F_{n} | \\ ϕ_{n} & = a r g s F_{n} \end{aligned}

Ενώ ακόμα εύκολα αποδεικνύεται

\begin{aligned} (13) & F_{0} & = \frac{a_{0}}{2} \\ (14) & F_{n} & = \frac{1}{2} (a_{n} - ȷ b_{n}) \end{aligned}

Συνθήκες Dirichlet

Για να μπορεί μια συνάρτηση να αναπτυχθεί ως σειρά Fourier πρέπει:

Να έχει πεπερασμένο αριθμό μεγίστων και ελαχίστων σε πεπερασμένο διάστημα
Να έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών.
Να είναι απολύτως ολοκληρώσιμη.

\begin{matrix} (15) & \int_{- \infty}^{\infty} | f (t) | d t < \infty \end{matrix}

Συμμετρία και συντελεστές

Γενικά ισχύει πως κάθε συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο επιμέρους συναρτήσεων: Μιας άρτιας και μίας περιττής, ούτως ώστε:

\begin{matrix} (16) & f (t) = f_{o} (t) + f_{e} (t) \end{matrix}

Γεγονός που καθίσταται ιδιαίτερα εμφανές με τις σειρές Fourier, καθώς:

\begin{aligned} f_{o} (t) & = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin (n ω_{0} t) \\ f_{e} (t) & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (n ω_{0} t) \end{aligned}

Αυτό με την σειρά του δημιουργεί τις προϋποθέςσεις για τις παρακάτω ιδιότητες:

Είδη συμμετρίας και σχέση με τους συντελεστές.

Αν η $f$ άρτια συμμετρική

Τότε θα είναι $f (t) = f_{e} (t) \Rightarrow b_{n} = 0$

Αν η $f$ περιττά συμμετρική

$f (t) = f_{o} (t) \Rightarrow a_{n} = 0$
$avg = 0 \Rightarrow a_{0} = 0$

Συμμετρία μισού μήκους

Συμμετρία μισού μήκους υφίσταται όταν για το περιοδικό σήμα $x (t)$ ικανοποιείται η:

\begin{matrix} (17) & x (t) = - x (t + \frac{T}{2}) \end{matrix}

Σε αυτή την περίπτωση θα υπάρχουν μόνο περιττές αρμονικές: $n = 2 κ + 1, κ \in R$ :

\begin{array}{r} a_{n}, b_{n} = {\begin{cases} 0, n = 2 κ \\ ((7)), n = 2 κ + 1 \end{cases} \end{array}

Συμμετρία τετάρτου μήκους

Ουσιαστικά αποτελεί συνδυασμό συμμετρίας μισού μήκους και άρτιας/περιττής. Οπότε έχουμε μόνο περιττές αρμονικές, και μόνο $a_{n}$ (άρτια συμμετρία) ή μόνο $b_{n}$ (περιττή συμμετρία)

Ενέργεια και ισχύς σειρών Fourier

Από τον ορισμό της μέσης ισχύος έχουμε:

\begin{matrix} (18) & \bar{P} = \frac{1}{T} \int_{t_{1}}^{t_{1} + T} f^{2} (t) d t \end{matrix}

Το οποίο κατα την έκφραση των περιοδικών συναρτήσεων με Fourier series, μπορεί να γραφεί ως εξής:

\begin{aligned} (19) & \bar{P} & = \frac{a_{0}^{2}}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) & type A \\ (20) & \bar{P} & = \frac{A_{0}^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n}^{2} & type B \\ (21) & \bar{P} & = \sum_{n = \infty}^{\infty} | F_{n} |^{2} \end{aligned}

Resources:

Fourier Series Neso Academy
Πανάς (εξαιρετικές σημειώσεις και αξίζει)
Michel Van Biezen

Σειρές Fourier

Table of Contents